狭义相对论与广义相对论浅说

爱因斯坦

第一部分:狭义相对论

解决光速不变和相对速度改变的矛盾

适用于惯性系间的转换

1. 几何学:由公理产生定理\推论.
2. 几何观念大体上对应于自然界中具有正确形状的客体
3. 事件在空间中的位置的每一种描述都要使用为描述这些事件而必须参照的一个刚体
4. 力学的目的在于描述物体在空间中的位置如何随“时间”而改变
5. 火车上的自由落体:车上人看是直线,车下人看是抛物线
6. 牛顿第一定律:一物体在离其他物足够远时,一直保持静止状态或保持匀速直线运动状态
7. 伽利略-牛顿力学诸定律只有对于伽利略坐标系来说才能认为是有效的
8. 相对性原理(狭义):K’是相对于 K 作匀速运动而无转动的坐标系,那么,自然现象相对于坐标系 K’的实际演变将与相对于坐标系 K 的实际演变一样依据同样的普遍定律
9. 我们仍然必须承认经典力学在相当大的程度上是“真理”
   • 经典力学对天体的实际运动的描述,所达到的精确度简直是惊人的
   • 最仔细的观察也从来没有显示出地球物理空间的这种各向异性(即不同方向的物理不等效性)。这是一个支持相对性原理的十分强有力的论据
10. 各色光线的传播速度相同:
11. 矛盾所在:火车上的一束光(与火车方向平行)的速度测量?
    • $(相对地面)速度w0=火车速度v+光速c$
    • $(相对于火车)速度w1=光速c$
    • 实际测量结果:光速永远是c
12. 除了放弃相对性原理或放弃真空中光的传播的简单定律以外,其他办法似乎是没有的
13. 狭义相对论就是这个关头产生的
14. 每一个参考物体(坐标系)都有它本身的特殊的时间
15. 同时性的相对性:(时间的相对性)
    • $灯塔A \xrightarrow{\text{光线方向}} 人M \xleftarrow{\text{光线方向}} 灯塔B$
    • A,B同时发光.M不动:M知道两束光是同时的.M向B移动:M先发现B的光,再发现A的光.
16. 距离的相对性:
    • $A \xrightarrow{\text{测量距离}} M \xrightarrow{\text{测量距离}} B$
    • A,M,B三者没有相对移动: AB=S0.测量中M从A移动到B:AB<s0
17. {在测量中,一些因素发生了变化,进而影响了测量结果. 测不准???}
18. 光的传播定律与相对性原理的表面抵触:(前提假设)
    • 两事件的时间间隔(时间)与参考物体的运动状况无关
    • 一刚体上两点的空间间隔(距离)与参考物体的运动无关
19. 洛伦兹变换:时空在不同坐标系下的变换公式: $$运动影响的距离转换 x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ $$时间转换: t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
20. 伽利略变换:(光速为无穷大值时的洛伦兹变换) $$x'=x-vt$$ $$t'= t$$
21. 将$x=ct$带入洛伦兹变换公式可得$x'=ct'$,因此光速在两个惯性系间的测量结果不变. $$x'=\frac{(c-v)t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ $$t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}ct}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{t-\frac{v}{c}t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{(1-\frac{v}{c})t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{\frac{c-v}{c}t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ $$ct'=\frac{\frac{c-v}{c}t*c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{(c-v)t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=x'$$
22. 当t=0:速度越快,长度越短
    $$x'=x*\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}$$
23. 当x=0:速度越快,时间越长 $$t'=\frac{t}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}$$
24. 在相对论中,速度 c 具有极限速度的意义,任何实在的物体既不达到也不能超出这个速度
25. 相对论是由电动力学发展而来
26. 动能定理: $$E=\frac{1}{2}mv^2 \text{ (原式)}$$ $$E=\frac{mv^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
27. 狭义相对论导致的具有普遍性的最重要的结果是关于质量的概念
28. 物理学确认两个具有基本重要性的守恒定律,即能量守恒定律和质量守恒定律
29. 连续:要多么近就可以有多么近
30. 自然就是四维的:三个空间坐标 x,y,z 和一个时间坐标——时间量值 t
31. 相对论的四维空时连续区在其最主要的形式性质方面与欧几里得几何空间的三维连续区有着明显的关系,
    • 但是,为了使这个关系所应有的重要地位得以表现出来,我们必须引用一个与通常的时间坐标成正比的虚量$\sqrt{-1}*ct$来代换这个通常的时间坐标
32. 动能定理拓展:根号3??? $$\frac{mv^2}{2}=\frac{mv^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ $$2=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$ $$1-4=-3=\frac{v^2}{c^2}$$ $$v^2=-3c^2$$ $$\sqrt{-a}=\pm \sqrt{a}\times i,(公式)$$ $$v=\pm \sqrt{3} \times i\times c$$

广义相对论

不断的否定,完善进步

1. 狭义的表现:假定相对性原理只是对于这些(伽利略参考物)参考物体才是有效的,而对于其他参考物体(例如具有另一种运动状态的参考物体)则是无效的
2. 广义相对性原理:所有参考物体 K 、K' 等不论它们的运动状态如何,对于描述自然现象(表述普遍的自然界定律)都是等效的
3. 伽利略定律对于作非匀速运动的车厢显然是不成立的
4. 如果没有某种中介媒质在其间起作用,超距作用这种过程是不可能的 $$(力)F=(惯性质量)m \times (加速度)a$$ $$(力)=(引力质量)\times (引力场强度)$$ $$(加速度)=\frac{引力质量}{惯性质量}\times (引力场强度)$$
5. 物体的引力质量等于其惯性质量
6. 惯性质量和引力质量相等是广义相对性公设的一个论据(对力的理解既可以是加速度,也可以是引力场强)
7. 牛顿第一定律的坐标原点(参照物)是一个不动的点(惯性系),自然不适用于非惯性系(加速的原点)
   • 例如:一个匀速运动的物体在一个加速运动的物体看来并不是在做匀速运动
8. 在经典力学中(或在狭义相对论中)找下到什么实 在的东西能够用来说明为什么相对于参考系 K 和 K'来考虑时物体会有不同的表现。牛顿看到了这个缺陷,并曾试图消除它,但没有成功
9. 光线在引力场中一般沿曲线传播(a不是一个常量)
10. 不能认为狭义相对论的有效性是无止境的;只有在我们能够不考虑引力场对现象(例如光的现象)的影响时,狭义相对论的结果才能成立
11. 广义相对论使我们能够从理论上推导引力场对自然过程的进程的影响
12. 运动的物体在运动的方向发生收缩
13. 在每一个引力场中,一个钟走得快些或者慢些,要看这个钟(静止地)所放的位置如何
14. 只要事件的坐标和时间的定义还没有给出,我们就不能赋予(在其中出现这些事件的)任何自然律以严格的意义
15. 长度相等的意思是,把其中之一与任何其他一个适合起来,它们的两端都能彼此重合
16. 高斯坐标:两条曲线的交点来表示面上的任一位置
17. 笛卡尔坐标是高斯坐标的特殊情况:曲线u,v此时是两条互相垂直的直线. $$ds^2=du^2+dv^2$$
18. 高斯的方法也可以应用到三维、四维或维数更多的连续区
19. 高斯坐标系是笛卡儿坐标系的一个逻辑推广
20. 高斯坐标系也可以适用于非欧几里得连续区
    • 前提:相对于既定的“大小”或“距离“的定义而言,我们所考虑的连续区的各个小的部分愈小,其表现就愈象一个真正的欧几里得系统
21. 高斯发明了对一般连续区作数学表述的方法
22. 取虚变量 − 1 ct 作为时间变量:按狭义相对论,可把空时连续区当作一个“欧几里得”四维连续区
23. 广义相对论的空时连续区不是欧几里得连续区
24. 空时坐标可以被看作四维笛卡儿坐标:我们能够这样做,是以光速恒定定律为基础的
25. 按照广义相对论,空时连续区不能被看作一个欧几里得连续区
    • 在这里只有相当于具有局部温度变化的大理石板的普遍情况
    • {时间和距离都是相对的(可变)}
26. 点没有物理存在意义:瞬间存在的点(t=无穷小);
    • 点的存在是永久的,那描述这个点就需要无数个四元组,且其坐标值必须紧密到能够显示出连续性
    • 因此,用线来表示(抽象出研究对象本身及存在的连续性(时间\空间))
27. 当我们相对于一个参考物体描述一个质点的运动时,我们所陈述的只不过是这个点与这个参考物体的各个特定的点的会合
28. 我们也可以借助于观察物体和钟的会合,井协同观察钟的指针和标度盘上特定的点的会合来确定相应的时间值
29. 使用高斯坐标所作的关于时空连续区的描述可以完全代替必须借助于一个参考物体的描述
30. 广义相对性原理的严格表述:

    所有的高斯坐标系对于表述普遍的自然界定律在本质上是等效的
    

31. 等效原理:
32. 引力和惯性力是等效的。这一原理建立在引力质量与惯性质量的等价性上

    等效原理：惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的

33. 狭义相对论和伽利略区域相关,亦即和其中没有引力场存在的区域相关
34. 钟的这动也受引力场的影响:时间也是可变的
35. 引力定律:相互吸引的质点问的吸引力必须与质点问的距离的平方成反比 $$F=G \frac{Mm}{r^2},(G是万有引力常数,r为两质点间距)$$

关于宇宙的考虑

1. 当我们站在地球上可以认为天圆地方.当我们处在空间站里,我们知道地球是圆的
2. 球面上的微小部分与同样大小的一块平面仅有极微细的差别
3. {扩大我们的认识就有了两个方法:增大长度,加快速度}
4. 在所有的闭合曲面中,唯有球面具有这种性质;即该曲面上所有的点都是等效的
5. 球面空间是有限的(亦即体积是有限的),同时又是无界的
6. 我们居住的宇宙是无限的,抑或象球口宇宙那样是有限的呢?
7. 如果物质是均匀分布的,宇宙就必然是球形的(或椭圆的)
8. 宇宙将是准球形的。但是这个宇宙必然是有限的

• 闵可夫斯基四维空间(世界): $$( x,y,z,\sqrt{-1}ct )$$
• 让$w=\sqrt{-1}ct$可以将时间以与空间维度相同的方式带入公式
• 经验科学的进化过程是一个连续的归纳过程,理论发展起来并以经验定律的形式简洁地综合概括了大量的个别观察的结果,再从这些经验定律,通过比较推敲,确定普遍定律
• 一门科学一经走出它的初始阶段,理论的发展就不再 仅仅依靠一个排列的过程来实现而是研究人员受到经验数据的启发而建立起一个思想体系;一般来说,这个思想体系在逻辑上是用少数的基本假定,即所谓公理,建立起来的。我们将这样的思想体系称力理论
• 我们还不能从宇宙空间膨胀理论以及天文学的经验数据得出关于(三维)宇宙空间的有限性或无限性的结论;而原来的宇宙空间“静态”假设则导致了宇宙空间的闭合性(有限性)
• 从逻辑上说业,这些概念是人类智力的自由创造物,是思考的工具,这些概念能把各个经验相互联系起来,以便更好地考察这些经验
• 物质客体概念的形成必须先于我们的时差空概念
• 科学从科学发展前的思想中将空间、时间和物质客体(其中重要的特例是“固体”)的概念接收过来,加以修正,使之更加确切
• 马赫:舍弃空间概念,而用所有质点之间的瞬时距离的总和的要领来代替它
• 经典力学:一切惯性系或惯性“空间”对于自然律的表达方式都是等效的
• 狭义相对论揭示了一切惯性系的物理等效性,因而也就证明了关于静正的以太的假设是不能成立的
• 广义相对论的起因主要是力图对惯性质量和引力质量的同等性有所了解
• 广义相对性原理的含义:“自然律对于任意连续的坐标变换必须是协变的
• 一无所有的空间,亦即没有场的空间,是不存在的
• 这样的场论能否用场来透彻地描述物理实在,包括四维空间在内

其他资料

• 相对论就如同仰望星空,让思维认识在浩瀚星河的无穷大中普遍适用的道理
• 量子理论则是在无穷小中探索未知
• 相对论试图融合:经典力学,电动力学
  • 由电场-> 引力场
• 这说明对于惯性系，人们无法给出严格定义:
  • 不受外力的物体，在其保持静止或匀速直线运动状态不变的坐标系是惯性系
  • 如何判断不受外力?-> 静止或匀速直线运动的物体

• 引力场方程是一个非常复杂的二阶偏微分方程 $$G_{\alpha \beta}=R_{\alpha \beta}-\frac{1}{2}Rg_{\alpha \beta}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\alpha \beta}$$ $G_{\alpha \beta}代表爱因斯坦张量，R_{\alpha \beta}代表黎曼曲率张量缩并后的里奇（Ricci）张量，R代表曲率标量，T_{\alpha \beta}为能量动量张量。$

• 引力不像其他种类的力，它只不过是时空不是平坦的这一事实的结果

• 广义相对论提出以来，预言了水星近日点反常进动、光频引力红移、光线引力偏折以及雷达回波延迟，都被天文观测或实验所证实
• 经典力学可以看作是简单的二分法认识(参照物-研究对象)
• 粒子的波粒二象性,还有测不准定理.与相对论得到关系?
• 空间扭曲(速度快??)所以测不准??

补充资料：

速度和长度测量的关系：

速度和时间测量的关系：